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紺屋高尾

ぬしの女房はんに、わちき、なりたいんざます。来年三月十五日、年季(ねん)が明けるんざます。そのときは眉毛落として歯に鉄漿(かね)染めて、ぬしの傍に参りんすよって、お内儀(かみ)さんにしてくんなますか?

フィボナッチ数ってな〜に?

 今日書いていることは、基本的にこの本の受け売りです。

不思議な数列フィボナッチの秘密不思議な数列フィボナッチの秘密
アルフレッド・S・ポザマンティエ、イングマル・レーマン 松浦俊輔

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 なんだかんだ、今日もフィボナッチ数について調べていた。計算機科学の本や、ちょっと真面目なプログラミングの本にかなりの高確率で現れるフィボナッチ数。”フィボナッチ数を求める関数”の実装を通して”再帰的なプログラミング”を学ぶためによく使われているようだけど、「そもそもフィボナッチ数とはなんぞや?」っていうのは出てこない。誰がいつ発見したのか?どんな性質を持っているのか?どんな事に使われているのか?これを知らないので、ずっと「なんでみんな、そんなにフィボナッチ数が好きなんだよ」って思ってきた訳です。ですから、今回フィボナッチ数そのものについて調べてみました。

 フィボナッチ数の”フィボナッチ”とは人の名前である。レオナルド・ピサーノ---あるいはピサのレオナルド、フィボナッチという歴史に記録されている名は、ラテン語の「フィリウス・ボナッキ」、つまりボナッチの息子に由来するらしい。しかし、「デ・フィリイス・ボナッキ」、つまり「ボナッチ一族」に由来する可能性の方が高いかもしれない、とのこと。

 フィボナッチ数はフィボナッチの著書「算法の書 第12章」に気まぐれのように出てくる。例の兎問題だ。しかし、この数はフィボナッチが「算法の書」を書いた頃には、何か特別な物とは認識されていなかった(!)。つまり、フィボナッチ自身は将来、この数がこれほどまでに数学者を虜にするとは思っていなかったということ(か?)。

 1611年にドイツの数学者・天文学者のヨハネス=ケプラー(15571~1630)は、1611年に発表したもので触れ、比のことを書いている。「5:8はほぼ8:13であり、これはほぼ13:21である。何世紀か過ぎても、この数はまだ注目されていなかった(!)。1830年代にこの数は松ぼっくりの鱗片が描くらせんの数として現れることが発見された。19世紀の半ば、フィボナッチ数がついに注目され始めた。

 この数に今の名(フィボナッチ数)を付けたのはフランソワ=エドゥアール=アナトール・リュカ(1842~1891)だ。リュカは後に、フィボナッチが定めたパターンに従う別の数列を独自に考えた。また、ほぼ同じ頃にフランスの数学者がどんなフィボナッチ数でも、数列中で何番目かが与えられれば求められる公式を考え出した。この式を使えば、例えば100番目のフィボナッチ数を求めるのに、その前までの99個のフィボナッチ数を数えなくても良いということだ。

 Twitterでこのことをまとめる為につぶやいていたら、金谷先生(@kanaya)がこの式を教えてくれた!

黄金比をφとするとn番目のフィボナッチ数は|_φ^n/√5+1/2_|.“@iori0121: ...ほぼ同じ頃にフランスの数学者がどんなフィボナッチ数でも、数列中で何番目かが与えられれば求められる公式を考え出した。”

 自然界で発見されたフィボナッチ数は数多いようだ。ハチの雄の家系図(ちなみに僕はハチの雌は普通に受精卵から生まれるのに、雄が未受精卵から生まれるという事に今日一番驚いたぞ!w)やまつぼっくりやパイナップルのらせん、花弁の数などがフィボナッチ数らしい。

 また、芸術や建築物や音楽にも使われているようだ。ヴァイオリンの全体を構成する各パーツの比が13:8:5:3:2であったのにはびっくりした。自然にある物を再現しようとしたり(絵や銅像とか?)、楽器のように自然にあるものを利用するもの(空気を振動させる)ものに多く使われている様だ。

 そして、フィボナッチ数自体も不思議な(面白い)法則を幾つも持っているようだ。フィボナッチ数はある桁に少なくとも4つ、多くても5つ(あれ、6じゃなかったよね?)しか存在しない。とか、連続した10個のフィボナッチ数の和は11で割り切れるとか。他にも色々とあるようだ。

 今日調べたのはこんなことです。これで僕も「いやぁ、僕もフィボナッチ数は好きでね。前に色々と調べましたよ」なんてしたり顔で言えるわけです。やったね!(マテ